一般化,特殊化,类比

我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何中它应该是最不容忽视的.
----------开普勒(Kepler)

一般化

一般化是从对象的一个给定集合进而考虑到包含这个给定集合的更大集合.例如,我们从三角形进而考虑到任意多边形.我们从锐角的三角函数进而考虑到任意角的三角函数.
我们往往从仅仅一个对象推广到包含它的全体.

特殊化

特殊化是从对象的一个给定集合,转而考虑那包含在这集合内较小的集合.例如,我们从多边形转而考虑正N边形,我们还可以再从正N边形转而特别考虑等边三角形.
这两个转移步骤是按两个显著不同的方式来进行的.在第一步里,从多边形到正多边形,我们引入了一个限制,即多边形的所有边及所有角都是相等的.在第二步里,我们用了一个特定的对象代替了一个可变的对象,即我们把变数N换成了一个定数3.
我们往往从专门研究对象的全体变为研究包含这个全体中的仅仅一个对象.例如,我们希望核对关于素数的某个普遍命题时,我们可以挑选出某个素数,比如说17.我们可以检查这个普遍例题对于这个素数17是否成立.

类比

在一般化和特殊化的概念中没有含糊的或有问题的东西,然而当我们开始讨论类比时,我们却不能讲得那么确切无疑.
类比是某种类型的相似性.我们可以说它是一种更确定的和更概念性的相似.但是我们可以把话说得更确切一些.类比和其他类型的相似之间的本质差别,在我看来在于思考者的意图.相似对象彼此在某些方面带来一致性.假如你想把它们的相似之处化为明确的概念,那么你就把相似的对象看成是可以类比的.假如你成功地把它变成清楚的概念,那么你就阐明了类比关系.
当诗人把少女比作花朵时,他们感到某些相似性(我希望如此),但通常他们并未想到作类比.事实上,他们很少会超越感情而把这种比拟化为某些可度量的东西或从概念上可定义的东西.
看到自然历史博物馆里各种哺乳动物的骨骼时,你可能觉得它们都很可怕.如果你所能发现的它们之间的类似之处仅仅限于此,那你就看不出多少类比性.然而你可以发觉一个极好的有启发的类比,假如你来考察人的手,猫的脚爪,马的前蹄,鲸鱼的鳍和蝙蝠的翅膀,这些器官虽然用途如此不同,但却是由具有相似关系的相似部分组成的.
最后这个例子最典型的阐明了类比关系;两个系统可作类比,如果它们各自的部分之间,在其可以清楚定义的一些关系上一致的话.
例如,平面上的一个三角形可与空间的一个四面体作类比.在平面上,两条直线不能围成一个有限的图形,然而三条却可以围成一个三角形.在空间,三张平面不能围成一个有限的图形,然而四张却可以围成一个四面体.就两者以数日最少的简单分界为元素所围成这一点来说,三角形与平面的关系同四面体与空间的关系是一样的.所以可以作类比.
„类比“源自希腊文“analogia“,原意之一为“比例“.事实上,6与9这一组数和10与15这一组数,就它们的对应项的比是一致的. 6:9=10:15
就这一点来说,是可作“类比“的.比例性或直观地从几何相似图形对应部分看出相同比的性质,这是很有启发性的一种类比.
类比,特别未完全说清楚的类比可能是含糊的.例如,比较平面几何与立体几何,我们首先发现平面上的三角形与空间的四面体可作类比,其次三角形与棱锥可作类比.然而这一对类比都是合理的.它们各有其价值.在平面几何与立体几何之间有苦干类比关系,而不只一个特殊的类比.
一定要牢记,不要忽视含糊的类比,然而,如果你希望这些类比受人重视的话,你就应该尽是把它们说清楚.

类比和归纳

我们希望学到一些搞发明和作归纳的推理过程.我们从历史可以学到什么呢?

(1) 欧拉成功的决定性因素是大胆.从严格逻辑角度来回顾,他的作法是荒谬的.他把某种情况来说尚未发明的法则应用到这种情况上了,即把关于一个代数方程的法则应用到一个非代数方程的情况中去了.在严格的逻辑意义下欧拉的步骤是不允许采取的,但是他用了一门新兴科学中最好的成就来做类比,而类比告诉他可以这样做.这门新科学,在几年以后,他自己把它称为“无穷分析“.在欧拉以前,别的数学家曾通过从有限差分过渡到无限小的差分,从一个有限项的和过渡到一个无限项的和,从一个有限乘积过渡到无限乘积.因此欧拉应用了从有限过渡到无限这个法则,从有限方程(代数方程)过渡到无限次方程.
这种从有限到无限的类比,是埋伏着许多危险陷阱的.欧拉怎么能避开它们呢?一些人会回答说因为他是一个天才,这当然全然不是理由.欧拉信赖他的发现是充分理由的.我们只要稍具普通常识,就能够理解他的理由,而无需提出什么天才的,具有不可思议的洞察力这种说法.

(2) 前面概括的欧拉信赖其发现的理由并非论证逻辑.欧拉并没有从头考察他那猜想的理由,并未研究由有限过渡到无限的这种大胆猜想的根据.他只考察了最后的一些结论.他把对于任何一个结论的证实都看作是有利于他的猜想的证据.他接受近似和准确性的验证,但他似乎更重视准确性的验证.他还考察了由密切相关的类似猜想得出的一些结论,并把每一个这种结论的证实都看做是有利于他自己的猜想的一个证据.
事实上,欧拉的理由是归纳性的.考察一个猜想的结论根据这个考察结果来判断猜想是否可靠,这是一种典型的归纳方法.在科学研究上也同日常生活一样我们对于一个猜想的信赖程度,会而且应该根据从其得出的可观察到的结果符合于事实程度的多少来判断.
简而言之,欧拉似乎就是按照有普通常识的人,包括科学家或非科学家在内,通常都会思考的那样来思考问题的.他似乎承认某些原则:如果一个猜想有任何新的结论得到证实,它就变得更为可靠,而且:假如且一个与之类似的猜想变得更可靠,则这个猜想也就变得更可靠.

选摘自<数学与猜想>